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Considere las clases $\cal{A,B}$ de un conjunto $X$. Demuestre que:
1. $\sigma(\sigma\cal{(A)})=\sigma\cal{A}$
2. Si $\cal{A}\subset\sigma\cal{(B)}$ y $\cal{B}\subset\sigma\cal{(A)}$, entonces $\sigma\cal{(A)}=\sigma\cal{(B)}$
por (90 puntos) en Prob. y Estadística
¿qué denota $\sigma$?
Entonces no sería mala idea que tú mismo escribas una respuesta aquí, para que cualquiera que esté interesado en la misma pregunta pueda ver la respuesta.
Sol. 1: podemos decir que $\sigma( \sigma\cal{(A)})$ es intersección de toda $\sigma$-álgebra que contiene a $\sigma\cal{(A)}$, por lo que $\sigma\cal{(A)}\subseteq\sigma(\sigma\cal{(A)})$ y $\sigma(\sigma\cal{(A)})$ es un $\sigma$-álgebra. También $\sigma\cal{(A)}$ es una $\sigma$-álgebra que contiene a $\sigma\cal{(A)}$, entonces $\sigma(\sigma\cal{(A)})\subseteq\sigma\cal{(A)}$. Así $\sigma(\sigma\cal{(A)})=\sigma\cal{(A)}$
Sol. 2: Como $\cal{A}$ y $\cal{B}$ son dos clases de subconjuntos de $X$, entonces $\cal{A}\subset\sigma\cal{(B)}$ implica que $\sigma\cal{(A)}\subset\sigma\cal{(B)}$; de la misma forma $\cal{B}\subset\sigma\cal{(A)}$ implica que $\sigma\cal{(B)}\subset\sigma\cal{(A)}$. Esto demuestra que $\sigma\cal{(A)}=\sigma\cal{(B)}$
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