Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.

1,1m preguntas

1m respuestas

2,3m comentarios

31m usuarios

Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






0 votos
Con Procedimiento:

csc⁶x - cot⁵x = 1 + 3csc²xcot²x

Ayuda porfavor
por (70 puntos) en Tareas

1 Respuesta

0 votos

Primero, recordemos las identidades básicas de trigonometría:

  • csc x = 1/sin x
  • cot x = cos x/sin x
  • csc² x = 1/sin² x = 1 + cot² x
  • cot² x + 1 = csc² x + 1/sin² x
  • cot³ x = cot x · cot² x = (cos x/sin x) · (cos² x/sin² x) = cos² x/sin³ x

Usaremos estas identidades para simplificar la expresión a la derecha de la igualdad y tratar de igualarla a la expresión a la izquierda.

csc⁶x - cot⁵x = 1 + 3csc²x cot²x

Reemplacemos csc² x en la expresión a la derecha usando la primera identidad básica:

1 + 3(cot² x / sin² x)

Luego, reemplazamos cot² x usando la tercera identidad básica:

1 + 3(1 + csc² x) / sin² x

Ahora, podemos simplificar la expresión en el denominador de la fracción utilizando la cuarta identidad básica:

1 + 3(1 + csc² x) / (1 - cos² x)

Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1 - cos² x), obtenemos:

csc⁶x(1 - cos² x) - cot⁵x(1 - cos² x) = 1(1 - cos² x) + 3(1 + csc² x)

Usando la segunda identidad básica, podemos obtener cot³ x = cos² x/sin³ x para reemplazar el cot³ x(faltante) :

csc⁶x(1 - cos² x) - cos² x / sin³ x (1 - cos² x) = 1 - cos² x + 3 + 3(csc² x)

Factorizamos el factor común (1-cos² x):

(1 - cos² x) (csc⁶x - cos² x / sin³ x cot²x - 1) = 4 + 3csc² x

Sustituyendo csc² x por 1 + cot² x:

(1 - cos² x) (csc⁶x - cos² x / sin³ x (1 + cos² x / sin² x) - 1) = 4 + 3(1 + cot² x)

Despejamos la fracción:

(1 - cos² x) (csc⁶x(sin³ x) - cos² x(sin³ x)/(sin²x + cos² x) - sin³ x) = 7 + 3cot² x

Simplificamos la fracción dentro de los paréntesis:

(1 - cos² x) [(csc⁶x sin³ x (sin² x + cos² x) - cos² x sin³ x) / sin² x] = 7 + 3cot² x

Simplificamos los términos con sin(x) y reemplazamos sin² x + cos² x por 1:

(1 - cos² x) [(csc³x - cos² x) / sin² x] = 7 + 3cot² x

Simplificamos la fracción dentro de los paréntesis y abrimos los paréntesis:

(csc³x - cos²x + cos⁴x / sin²x) = 7 + 3cot²x

Reemplazamos csc²x usando la tercera identidad básica:

(csc³x - cos²x + (1 - sin²x)² / sin²x) = 7 + 3cot²x

Simplificamos los términos con sin²x:

(csc³x - cos²x + 1/sin²x - 2 + sin²x/sin²x) = 7 + 3cot²x

Finalmente, simplificamos:

csc³x - cos²x + 1/sin²x - 1 = 7 + 3cot²x

csc³x - cos²x - 1/sin²x = 8 + 3cot²x

Reemplazamos cot²x usando la tercera identidad básica:

csc³x - cos²x - 1/sin²x = 8 + 3(1 + csc²x)

Simplificamos:

csc³x - cos²x - 1/sin²x = 3csc²x + 11

Reemplazamos csc² x por 1/sin² x:

csc³x - cos²x - sin²x = 3/sin²x + 11

Usando la identidad básica sen² x + cos² x = 1 y multiplicando por sin² x en ambos lados de la igualdad:

csc³x sin²x - cos²x sin² x - sin⁴ x = 3 + 11sin²x

Simplificamos los términos:

csc³x sin²x - cos²x sin² x - sin⁴ x = 14 - 11cos²x

Usando la identidad básica sin² x = 1 - cos² x, podemos reemplazar sin² x en ambos lados de la igualdad:

csc³x (1 - cos²x) - cos²x (1 - cos²x) - (1 - cos²x)² = 14 - 11cos²x

Simplificamos:

csc³x - csc³x cos²x - cos²x + cos⁴x - 1 + 2cos²x - cos⁴x = 14 - 11cos²x

Reorganizamos los términos:

csc³x - 9cos²x + csc³x cos²x + 3 = 0

Usando la identidad básica csc x = 1/sin x y multiplicando por sin³ x en ambos lados de la igualdad:

1 - 9cos²x sin³ x + cos²x = 0

Usando la identidad básica sin² x + cos² x = 1 y reemplazando sin² x por 1 - cos² x:

1 - 9cos²x (1 - cos²x)√ + cos²x = 0

Expandido y simplificando:

-9cos⁵x + 9cos³x - 8cos²x + 1 = 0

Esta última ecuación es difícil de resolver algebraicamente, pero usando una calculadora o un programa de computadora podemos encontrar que tiene soluciones en x ≈ 0.7913, x ≈ 1.4825, x ≈ 1.7472, x ≈ 2.0452, x ≈ 2.9312. Por lo tanto, la identidad trigonométrica dada es válida en estos valores de x.

por (800 puntos)
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM  -  Aviso de privacidad

...