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¿Cuáles son todas las $\sigma$-álgebras sobre los naturales?
por (9,2m puntos) en Análisis real

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Dada una partición $\mathcal{P}$ de $\mathbb{N}$, la familia de conjuntos $\mathcal{A}_{\mathcal{P}} := \{ \bigcup_{Q \in \mathcal{Q}} Q : \mathcal{Q} \subseteq \mathcal{P} \}$ es una $\sigma$-álgebra (puesto que esas uniones son a lo más numerables) y todas las $\sigma$-álgebras sobre $\mathbb{N}$ son de esta forma.

En efecto, sea $\mathcal{A}$ una $\sigma$-álgebra cualquiera sobre $\mathbb{N}$, la relación de equivalencia $\sim$ que corresponde a la partición $\mathcal{P}$ tal que $\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\mathcal{P}}$
está dada por $m \sim n$ si y sólo si $m$ y $n$ pertencen a exactamente los mismo miembros de $\mathcal{A}$. El punto central es que cada clase de equivalencia $[n]$ pertenece a $\mathcal{A}$. Para probarlo, notemos que para cada $m \not\sim n$ (si es que hay), podemos elegir un $A_m \in \mathcal{A}$ tal que $n \in A_m$ pero $m \not\in A_m$; pues, por definición de $\sim$, hay algún miembro de $\mathcal{A}$ que tiene a uno de $m$ y $n$ pero no al otro y ese miembro o su complemento es el $A_m$ deseado. Ahora, notemos que $[n] = \bigcap_{m \in \mathbb{N} \setminus [n]} A_m$ puesto que (a) $[n]$ está contenido en todos los $A_m$ por definición de $\sim$ y (b) cada $m \not\in [n]$ está fuera del correspondiente $A_m$. Como $[n]$ es una intersección finita o numerable de elementos de $\mathcal{A}$ pertenece a $\mathcal{A}$.

Ahora comparemos $\mathcal{A}$ con $\mathcal{A}_{\mathcal{P}}$ donde $\mathcal{P} = \{ [n] : n \in \mathbb{N} \}$. Como probamos que $[n] \in \mathcal{A}$, tenemos que $\mathcal{A}_{\mathcal{P}} \subseteq \mathcal{A}$. Por otra parte, por la definición de $\sim$, cada vez que un $A \in \mathcal{A}$ tiene algún $n$, contiene a todo $[n]$, probando que $A \in \mathcal{A}_{\mathcal{P}}$.
por (33,1m puntos)
seleccionada por
¿Cuántas particiones de $\mathbb{N}$ existen?
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