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+1 voto
Aparte de los anillos principales, hay otro tipo de anillo en el cual los ideales primos coincidan con los ideales máximos.
por (6,3m puntos) en Básicas
Los dominios de Dedekind.
También los anillos finitos.

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta

Si entendí bien, la pregunta es ¿en cuáles anillos conmutativos sucede que todos los ideales primos son maximales? Nótese que los ejemplos mencionados de "anillos principales" (que supongo son anillos de ideales principales) y dominios de Dedekind no cumplen de hecho la condición: en cualquier dominio entero el ideal cero es primo pero no es maximal a menos que el anillo sea un campo. (El otro ejemplo mencionado, de anillos finitos, es correcto.)

La dimensión de Krull de un anillo se define como la máxima longitud de una cadena de primos en el anillo, es decir, como el máximo valor de $n$ tal que exista una cadena $P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \dots \subsetneq P_n$ de ideales primos. Claramente, la condición de que todos los ideales primos son maximales es equivalente a que la dimensión de Krull sea 0. (Los dominios de Dedekind que no son campos tienen dimensión de Krull igual a 1.) Una caracterización importante de los anillos artinianos es que son precisamente los anillos noetherianos de dimensión de Krull 0. Eso es una buena fuente de ejemplos de anillos de dimensión 0, pero también hay algunos que no son noetherianos, por ejemplo:

1. Un producto infinito de campos, digamos $A:=\prod_{i \in I} k_i$ con $I$ infinito. Aquí los ideales primos están dados por ultrafiltros en $I$. Probarlo es un ejercicio simpático:

    a) dado un ultrafiltro $\omega$, el conjunto $P_\omega = \{ (x_i)_{i \in I} : \{i:x_i = 0\} \in \omega \}$ es un ideal primo,
    b) dado un ideal primo $P$, $\omega_P := \{ J \subset I : J = \{ i : x_i=0\} $ para algún $(x_i)_i \in P\}$ es un ultrafiltro,
    c) estás construcciones son inversas una de la otra.

2. Tomemos un campo $k$, un espacio vectorial $V$ sobre $k$ y consideremos la extensión de cuadrado cero $A:=k \oplus V$ con multiplicación $(a,u)(b,v) = (ab,av+bu)$ (conviene pensar en $(a,u)$ como $a\cdot 1 + v$ y la reglas es simplemente que $uv=0$ para $u,v \in V$). Si $V$ es de dimensión finita como $k$-espacio vectorial, $A$ es artiniano, pero si es de dimensión infinita, $A$ es un ejemplo de un anillo de dimensión $0$ que no es artiniano. (Es fácil ver que $V$ es su único ideal primo: el paso clave es notar que para $a \neq 0$, $(a,v)$ es unidad, pues $(a,v)(a^{-1},-a^{-2}v) = (1,0)$.)

Si la pregunta era realmente, ¿cuáles son los dominios enteros de dimensión de Krull $1$?, entonces, así como la respuesta a dimensión $0$ es "básicamente sólo los artinianos (aunque hay excepciones exóticas)", la respuesta en ese caso es que los dominios de Dedekind son los ejemplos principales de anillos de dimensión $1$. El teorema preciso es que para dominios enteros que no son campos es equivalente (1) ser de Dedekind a (2) ser noetherianos, íntegralmente cerrados y de dimensión de Krull $1$.

por (33,1m puntos)
seleccionada por
Supongo que influye mucho que en los campos su único ideal primo es el $(0)$.
Sí, eso vuelve mucho más fácil el problema. Para anillos que no son campos es natural esperar que haya todavía más ideales primos en el producto.
Algo más en $P_\omega = \{ (x_i)_{i \in I} : \{i:x_i = 0\} \in \omega \}$ son elementos de $\prod_{i \in I} k$ que tienen la "i-esima" cordenada cero verdad.

Veo que tambien si $\mathfrak{q}, \mathfrak{p}$ son ideales primos distintos, etnonces en el producto si sustituimos $\mathfrak{q}, \mbox{ y } \mathfrak{p}$ en la posición $i,j$ del producto por estos ideales respectivamente también sería un ideal primo del producto, si no estoy razonando  de manera errónea.
No, $P_\omega$ consta de los elementos $x$ de $\prod_{i \in I} k$ tales que si te fijas en el conjunto $Z_x$ de coordenadas de $x$ que son iguales a cero (esto es, el conjunto $Z_x:=\{i \in I : x_i=0\}$), este conjunto $Z_x$ pertenece al ultrafiltro $\omega$.
A ya lo entendí, gracias.
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