Medida - conjunto de Cantor .

Question

Como mostraría que el conjunto de Cantor tiene medida de Lebesgue cero.

Answer 1

Recuerda que el conjunto de Cantor está definido como una intersección de otros conjuntos (en los cuales vas quitando tercios). La medida de Lebesgue cumple que si $A\subset B$, entonces la medida de $A$ es menor a la de $B$.

Como Cantor es la intersección de todos estos conjuntos, entonces su medida es menor que la de cualquiera de ellos. Bueno, con esto en mente, la idea es encontrar las medidas de estos conjuntos y ver que se van a cero.

Answer 2

En cada paso de la construcción le quitas 1/3 de la medida que tenias. Esto es equivalente a decir que en cada paso dejas 2/3 de la medida que tenias. Pero como 2/3 de 2/3 de 2/3 de... es igual a cero, pues ya.

Answer 3

Creo que vale la pena comentar que puedes construir conjuntos de Cantor con medida de Lebesgue positiva. Aquí puedes consultar una construcción. http://planetmath.org/cantorset

Comments

Claro, pero seguro que Raul se refiere al Cantor clasico...

Answer 4

Se tiene el siguiente resultado clásico de Teoría de la Medida:

Teorema. Sea $\mathcal{A}$ un anillo y $\mu:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ una función $\sigma$-aditiva. Si $\left<A_n:n\in\omega\right>\in\mathcal{A}^{\omega}$ es una sucesión decreciente tal que $\mu(A_0)<+\infty$ y $\bigcap_{n\in\omega}A_n\in\mathcal{A}$, entonces $\mu\left(\bigcap_{n\in\omega}A_n\right)=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)$.

Con este resultado puedes calcular la medida de Lebesgue de cualquier conjunto-tipo-Cantor.